ffacs 的博客
复变函数积分的概念 复变函数积分的概念
积分的定义 设函数 \(w=f(z)\) 定义在区域 \(D\) 内, \(C\) 为 区域 \(D\) 内 起点为 \(A\) 终点为 \(B\) 的一条光滑的有向曲线,把曲线 \(C\) 任意分成 \(n\) 个弧段,设分点为 \[ A
2021-01-13
初等函数 初等函数
指数函数 定义 \[ e^z =e^x(cos y+i sin y) \] 当 \(Im(z)=0\) 时, \(f(z) = e^x\) ,其中 \(x=Re(z)\) \[ e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x\left
2021-01-13
解析函数 解析函数
解析函数的概念 解析函数的定义 定义1: 如果函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 及 \(z_0\) 的邻域内处处可导,那么称 \(f(Z)\) 在\(z_0\) 解析 函数在 一点处解析 与在 一点处可导 是 不等价 的概念.函数
2021-01-13
复变函数的导数和微分 复变函数的导数和微分
导数的定义 设\(w=f(z)\)是定义在区域 \(D\) 上的复变函数,\(z_0\) 是区域 \(D\) 内的定点。若极限 \[ \lim\limits_{z \to z_0 }{\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}} \
2021-01-13
复变函数 复变函数
复变函数的定义 设 \(G\) 是一个复数集(或称平面点集)。如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于集合 \(G\) 中的每一个复数 \(z\) 有一个或几个复数 \(w=u+iv\) 与之对应,那么称复变数 \(w\) 是复变数 \(
2021-01-13
复平面上的点集 复平面上的点集
区域的概念 领域 平面上以\(z_0\)为中心,\(\delta\)(任意的正数)为半径的圆:\(|z-z_0| < \delta\)内部的点的集合称为\(z_0\)的邻域。 去心领域 称由不等式\(0 < |z-z_0| &l
2021-01-13
复数的四则运算和共轭运算 复数的四则运算和共轭运算
设两复数 \(z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2\) 两复数的和:\(z_1\pm z_2=(x_1+x2)+i(y_1+y_2)\) 两复数的积:\(z_1*z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2
2021-01-13
复变函数的幂级数 复变函数的幂级数
复数列的极限 定义 设 \(\left\{\alpha_n\right\}(n=1,2,...)\) 为一复数列,其中 \(\alpha_n=a_n+ib_n\) ,又设 \(\alpha = a+ib\) 为一确定的复数,如果任意给定 \
2021-01-13
解析函数的高阶导数 解析函数的高阶导数
高阶导数公式 定理 解析函数 \(f(z)\) 的导数仍为解析函数,它的 \(n\) 阶导数为: \[ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz(n
2021-01-13
柯西积分公式 柯西积分公式
问题的提出 设 \(B\) 为一单连通域, \(z_0\) 为 \(B\) 中的一点,\(C\) 为 \(B\) 内围绕 \(z_0\) 的简单闭曲线。 设函数 \(f(z)\) 在 \(B\) 内解析,考虑 \(\oint_C\frac{
2021-01-13
柯西-古萨基本定理 柯西-古萨基本定理
积分是否与路径有关,由被积函数的解析性以及区域的连通性决定 柯西积分定理 如果函数 \(f(z)\) 在单连通域 \(B\) 内处处解析,那么函数 \(f(z)\) 沿 \(B\) 内的任何一条封闭曲线 \(C\) 的积分为 \(0\):\
2021-01-13
复数及其几何表示 复数及其几何表示
复数的概念 虚数单位 为了解方程的需要,引入一个新数 \(i\),称为虚数单位。 规定: \(i^2 = -1\) \(i\) 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算 特性: \[ i^{4n} = 1,i^{4n+1} = i,i^
2021-01-13