柯西积分公式

作者: ffacs 分类: 复变函数 发布时间: 2020-06-18 16:46

问题的提出

设 $B$ 为一单连通域, $z_0$ 为 $B$ 中的一点,$C$ 为 $B$ 内围绕 $z_0$ 的简单闭曲线。

设函数 $f(z)$ 在 $B$ 内解析,考虑 $\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

由于 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 在 $z_0$ 不解析,所以 $\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$ 一般不为 $0$

将积分曲线 $C$ 取作以 $z_0$ 为中心,半径为 $\delta$ 的正向圆周 $|z-z_0|=\delta$ ,由于 $f(z)$ 的连续性,在 $C$ 上函数 $f(z)$ 的值将随着半径的缩小而逐渐接近于它在圆心 $z_0$ 处的值,

柯西积分公式

定理 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析,$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 $D$ ,$z_0$ 为 $C$ 内任一点,那么
$$
f(z_0)=\frac{1}{2i\pi}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz
$$
或者
$$
\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2i\pi f(z_0)
$$

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