初等函数

作者: ffacs 分类: 复变函数 发布时间: 2020-06-17 23:04

指数函数

定义

$$
e^z =e^x(cos y+i sin y)
$$

当 $Im(z)=0$ 时, $f(z) = e^x$ ,其中 $x=Re(z)$
$$
e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x\left(cos(y)+i*sin(y)\right)
$$

性质

解析性

在复平面上处处解析,且 $f`z=fz$

加法定理

$$
\exp z_1\exp z_2=\exp(z_1+z_2)
$$

周期性

$$
\exp^{z+2k\pi i}=\exp^z\exp^{2k\pi i}=\exp z
$$

对数函数

定义

满足方程 $e^w=z(z \neq 0)$ 的函数 $w=f(z)$ 称为对数函数

$$
w=Lnz=ln|z|+iArgz
$$

多值性

由于 $Argz$ 为多值函数,所以对数函数也是多值函数,并且任意两个值相差 $2\pi i$的整数倍。

如果将 $Lnz=ln|z|+iArgz$ 中的 $Argz$ 取主值 $argz$ ,那么$Lnz$ 为单值函数,记为 $\ln z$ ,称为 $Lnz$ 的主值。
$$
\ln z=\ln|z|+iargz
$$

幂函数

定义

$$
z^\mu = exp(\mu Lnz) = e^{\mu Lnz}
$$

多值性

由于 $Lnz$ 的多值性,故 $z^\mu$ 一般也是多值的, $e^{\mu lnz}$ 称为 $z^\mu$ 的主值。
$$
\begin{align}
z^{\mu} &= e^{\mu Lnz} = e^{\mu\left(ln|z|+iargz+i2k\pi\right)} \\
&=e^{\mu\left(\ln z+i2k\pi \right)}\\
&=e^{\mu\ln z\cdot e^{\mu i2k\pi}} \left(k=0,\pm1,\pm2,…\right)
\end{align}
$$

  1. 当 $\mu$ 是整数时 $z^{\mu}=e^{\mu\ln z}$ 单值函数
  2. 当 $\mu$ 是有理数 $\frac{p}{q}$ 时,其中 $\frac{p}{q}$ 是既约分数,
    $$
    \begin{align}
    z^{\mu}&=e^{\mu\ln z}\cdot e^{\frac{p}{q}2k\pi i}\\
    &=e^{\mu\ln z}\cdot (\cos\frac{p}{q}\cdot2k\pi+i\sin\frac{p}{q}\cdot 2k\pi),(k=0,\pm1,\pm2,…,q-1)
    \end{align}
    $$
    $z^{\mu}$ 是有限多值的 ( $q$ 个)
  3. 当 $\mu$ 是无理数或虚数时, $z^{\mu}$ 是无穷多值的

解析性

因为 $Lnz$ 在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,所以幂函数 $z^{\mu}=e^{\mu Lnz}$ 在该区域上解析。并且根据复合函数求导公式,可得
$$
\left(z^{\mu}\right)^{'}=(e^{\mu Lnz})^{'}=\mu\cdot\frac{1}{z}\cdot e^{\mu Lnz}=\mu z^{\mu-1}
$$

三角函数和双曲函数

三角函数的定义

我们定义余弦函数为
$$
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
$$
正弦函数为
$$
\sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}
$$
为什么三角函数要这么定义?因为只有这么定义,才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数,同时满足解析的要求。

例如将复数 $z$ 取实数 $x$ ,得
$$
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=(\cos x+i\sin x+\cos x-i\sin x)/2=\cos x
$$
同理可证 $\cos z=\cos x$

性质

  • 单值函数
  • $\sin z$ 是奇函数, $\cos z$是偶函数。
  • 都是以 $2\pi$ 为周期的
  • 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数

$$
\begin{align}
&(1)\left\{
\begin{array}
&\cos (z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\\
\sin (z_1+z_2)=\sin z_1\cos x_2+\cos z_1\sin z_2\\
\sin^2 z+ \cos^2 z=1
\end{array}
\right. \\
\\
&(2)\left\{
\begin{array}
&\cos (x+yi)=\cos x\cos yi-\sin x\sin yi\\
\sin(x+yi)=\sin x\cos yi+\cos x\sin yi
\end{array}
\right.
\end{align}
$$

反三角函数和反双曲函数

定义

记 $z=\cos w$ ,那么称 $w$ 为 $z$ 的反余弦函数,记作 $w = Arc \cos z$

由 $z=\cos w = \frac{e^{iw}+e^{-i2}}{2}$ ,得 $e^{2iw}-2ze^{iw}+1=0$

方程的根为 $e^{iw}=z+\sqrt{z^2-1}$ ,两端取对数得
$$
Arc \cos z =-iLn(z+\sqrt{z^2-1})
$$
同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到他们的表达式:
$$
\begin{align}
&Arc\sin z=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2}) \\
&Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{1+iz}{1-iz}
\end{align}
$$

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