HDU 6467 简单数学题

作者: ffacs 分类: 题目 发布时间: 2019-12-31 03:42

Problem Description

已知\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}(i\times\sum_{j=i}^{n}\mathrm{C}_j^i)\)\(F(n)\mod\ 1000000007\)

Input

多组输入,每组输入占一行,包含一个整数n(\(1 \leq n \leq 10^{18}\)) 数据不超过300000组。

Output

对于每组输入,输出一行,包括一个数代表答案。

Solution

这是广工校赛的一题。这个题我都不知道怎么给我乱搞出递推式的...

我们发现 $F(n)-F(n-1)=_{i=1}^{n}n_n^i $ 那么我们设\(\sum_{i=1}^{n}n\mathrm{C}_n^i=T(n)\),然后我就通过观察法(真的是观察法!发现 \(T(n)=2\times T(n-1)+2^{n-1}\), 其中\(T(1)=1,F(0)=0\)。我们就猜出了递推式\(F(n)=\sum _{i=1}^nT(n)\)。然后,为什么我就会莫名其妙想到了矩阵快速幂呢???,然后我就TLE了12发。这里我们是可以推出通项公式的\(F(n)=(n-1)*2^{n}+1\)。那么log变o(1),完美解决。没想到把高中知识都忘记了

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
typedef long long ll;
using namespace std;
ll read(){
    ll ans=0,flag=1;char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9') if(ch=='-') flag=-1; else if(ch==EOF) exit(0);
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ans=ans*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return ans*flag;
}
const ll mod=1000000007;
ll fastpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll n;
    while(cin>>n){
    	printf("%lld\n",(((n-1)%mod*fastpow(2,n))%mod+1)%mod );
    }
    return 0;
}

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