复变函数

高阶导数公式

高阶导数公式 定理 解析函数 $f(z)$ 的导数仍为解析函数,它的 $n$ 阶导数为: $$ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz(n=1,2,…) $$ 其中 $C$ 为在函数 $f(z)$ 的解析区域 $...

柯西积分公式

问题的提出 设 $B$ 为一单连通域, $z_0$ 为 $B$ 中的一点,$C$ 为 $B$ 内围绕 $z_0$ 的简单闭曲线。 设函数 $f(z)$ 在 $B$ 内解析,考虑 $\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$ 由于 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 在...

柯西-古萨基本定理

积分是否与路径有关,由被积函数的解析性以及区域的连通性决定 柯西积分定理 如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析,那么函数 $f(z)$ 沿 $B$ 内的任何一条封闭曲线 $C$ 的积分为 $0$:$\oint_cf(z)d...

复变函数积分的概念

积分的定义 设函数 $w=f(z)$ 定义在区域 $D$ 内, $C$ 为 区域 $D$ 内 起点为 $A$ 终点为 $B$ 的一条光滑的有向曲线,把曲线 $C$ 任意分成 $n$ 个弧段,设分点为 $$ A=z_o,z_1…z_{k-1},z_k…z_n=B $$ 在每个弧...

初等函数

指数函数 定义 $$ e^z =e^x(cos y+i sin y) $$ 当 $Im(z)=0$ 时, $f(z) = e^x$ ,其中 $x=Re(z)$ $$ e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x\left(cos(y)+i*sin(y)\right) $$ 性质 解析性 在复平面上处...

调和函数

解析函数的概念 解析函数的定义 定义1: 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的邻域内处处可导,那么称 $f(Z)$ 在$z_0$ 解析 函数在 一点处解析 与在 一点处可导 是 不等价 的概念.函数在一点处可导不一...

复变函数的导数和微分

导数的定义 设$w=f(z)$是定义在区域 $D$ 上的复变函数,$z_0$ 是区域 $D$ 内的定点。若极限 $$ \lim\limits_{z \to z_0 }{\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}} $$ 存在,则称 $f(z)$ 在 $z=z_0$ 点可导,并把这个极限...

复变函数

复变函数的定义 设 $G$ 是一个复数集(或称平面点集)。如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于集合 $G$ 中的每一个复数 $z$ 有一个或几个复数 $w=u+iv$ 与之对应,那么称复变数 $w$ 是复变数 $z$ 的函...

复平面上的点集

区域的概念 领域 平面上以$z_0$为中心,$\delta$(任意的正数)为半径的圆:$|z-z_0| < \delta$内部的点的集合称为$z_0$的邻域。 去心领域 称由不等式$0 < |z-z_0| < \delta$所确定的点的...