解析函数

解析函数的概念

解析函数的定义

定义1: 如果函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 及 \(z_0\) 的邻域内处处可导,那么称 \(f(Z)\) 在\(z_0\) 解析

函数在 一点处解析 与在 一点处可导 是 不等价 的概念.函数在一点处可导不一定在该点处解析.

函数在一点处解析比在该点可导的要求要高得多

定义2: 如果函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内的每一点解析,则称 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析,或称 \(f(z)\) 是区域 \(D\) 内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)

函数在 区域内解析与在 区域内可导 是 等价 的

奇点的定义

如果函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 不解析,则称 \(z_0\) 位 \(f(z)\) 的奇点

定理

1. 在区域 \(D\) 内解析的两个函数的和差积商在 \(D\) 内解析
2. 设函数 \(h=g(z)\) 在平面 \(z\) 上的区域 \(D\) 内解析,函数 \(w=f(h)\) 在 \(h\) 平面上的区域 \(G\) 内解析.如果对于 \(D\) 内的每一个点 \(z\) ,函数 \(g(z)\) 的对应值 \(h\) 都属于 \(G\) ,那么复合函数 \(w=f[g(z)]\) 在 \(D\) 内解析

常用结论

1. 所有多项式在复平面内是处处解析的
2. 任何一个有理分式函数 \(\frac{P(z)}{Q(z)}\) 在不含分母为 \(0\) 的点的区域内是解析的,分母为 \(0\) 的点是它的奇点

函数解析的充分必要条件

函数在一点可导的充分必要条件

设函数 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 定义在区域 \(D\) 内,则 \(f(z)\) 在 \(D\) 内的一点 \(z=x+yi\)可导的充要条件是 : \(u(x,y)\) 与 \(v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 可微,并且在该点满足柯西-黎曼方程 \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \]

且

\[ f'(x)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} \]

函数在区域 \(D\) 内解析的充分必要条件

函数 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在其定义域 \(D\) 内解析的充要条件是: \(u(x,y)\)　与　\(v(x,y)\) 在 \(D\) 内可微,并且满足 柯西-黎曼方程

调和函数

概念

如果二元实变函数 \(\varphi (x,y)\) 在区域 \(D\) 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 \[ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0 \] 那么称 \(\varphi (x,y)\) 为区域 \(D\) 内的调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用

解析函数和调和函数的关系

定理 任何在区域 \(D\) 内解析的函数,它的实部和虚部都是 \(D\) 内的调和函数

共轭调和函数的定义

设 \(u(x,y)\) 为区域 \(D\) 内给定的调和函数,我们把使 \(u+iv\) 在 \(D\) 内构成解析函数的调和函数 \(v(x,y)\) 称为 \(u(x,y)\) 的共轭调和函数

换句话说,在 \(D\) 内满足方程 \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \] 的两个调和函数中, \(v\) 称为 \(u\) 的共轭调和函数.

区域 \(D\) 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。